Question

在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ACB的BC邊在x軸上，AC，BC的長(zhǎng)是方程x²-14x+48=0的兩根，且AC＞BC，AB=BO，D在x軸上，∠ADC=∠CAO．
（1）求點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；
（2）求直線AD的解析式；
（3）在AD上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）解方程求出AC、BC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式求出AB的長(zhǎng)度，然后求出OC的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后利用銳角∠ADC的正切求出CD的長(zhǎng)，再求出OD，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）分①∠AMB=90°時(shí)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得點(diǎn)M是線段AD的中點(diǎn)，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；②∠ABM=90°時(shí)，利用∠BAD的正切值求出BM，過點(diǎn)M作ME⊥軸于E，求出∠MBE=∠BAC，再解直角三角形求出ME、BE，再求出OE，然后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）x²-14x+48=0，
因式分解得，（x-6）（x-8）=0，
∴x-6=0，x-8=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∵AC＞BC，
∴AC=8，BC=6，
由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

82+62

=10，
∵AB=BO，
∴OC=OB-BC=10-6=4，
∴點(diǎn)A（-4，8），B（-10，0），C（-4，0），
∵∠ADC=∠CAO，
∴CD=AC÷tan∠ADC=8÷

4

8

=16，
∴OD=CD+OC=16+4=20，
∴點(diǎn)D（-20，0）；

（2）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
則

-4k+b=8 -20k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=10

，
∴直線AD的解析式為y=

1

2

x+10；

（3）①∠AMB=90°時(shí)，∵BD=CD-BC=16-6=10，
∴AB=BD，
∴點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，
∵

-20-4

2

=-12，

0+8

2

=4，
∴點(diǎn)M₁（-12，4）；
②∠ABM=90°時(shí)，∵AB=BD，
∴∠ADC=∠BAD，
∴BM=AB•tan∠BAD=10×

4

8

=5，
過點(diǎn)M作ME⊥軸于E，
∵∠MBE+∠ABC=90°，∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠MBE=∠BAC，
∴ME=BM•sin∠MBE=5×

3

5

=3，
BE=BM•cos∠MBE=5×

4

5

=4，
∴OE=OB+BE=10+4=14，
∴點(diǎn)M₂（-14，3），
綜上所述，點(diǎn)M（-12，4）或M（-14，3）時(shí)，△ABM是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解直角三角形，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)以及數(shù)學(xué)思想和方法是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（3）要根據(jù)直角頂點(diǎn)分情況討論．