Question

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言．
（1）請你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；
（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖 2，驗(yàn)證勾股定理；
（3）利用圖2中的直角梯形，證明

a+b

c

＜

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的證明

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理用文字及符號語言敘述；
（2）利用SAS可證△ABE≌△ECD，可得對應(yīng)角相等，結(jié)合90°的角，可證∠AED=90°，利用梯形面積等于三個(gè)直角三角形的面積和，可證a²+b²=c²；
（3）在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已證△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=

2

c，從而可證

a+b

c

＜

2

．

解答：解：（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．
（2）如果直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a²+b²=c²．
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC；
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°；
∴∠AED=90°；
S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²；

1

2

（a²+2ab+b²）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c²；
整理得a²+b²=c²．
（3）∵AD=

2

c，BC＜AD，
∴a+b＜

2

c，即

a+b

c

＜

2

．

點(diǎn)評：考查了勾股定理的證明，本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、面積分割法、勾股定理等知識．