【題目】ABC中,∠ACB45°.點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF

1)如果ABAC.如圖①,且點D在線段BC上運動.試判斷線段CFBD之間的位置關系,并證明你的結論.

2)如果AB≠AC,如圖②,且點D在線段BC上運動.(1)中結論是否成立,為什么?

3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設AC4BC3,CDx,求線段CP的長.(用含x的式子表示)

【答案】(1)CFBD位置關系是垂直,理由見解析;(2)AB≠AC時,CFBD的結論成立,理由見解析;(3)見解析

【解析】

(1)由∠ACB=45°,AB=AC,得∠ABD=∠ACB=45°;可得∠BAC=90°,由正方形ADEF,可得∠DAF=90°,AD=AF,∠DAF=∠DAC+∠CAF;∠BAC=∠BAD+∠DAC;得∠CAF=∠BAD.可證△DAB≌△FAC(SAS),得∠ACF=∠ABD=45°,得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(2)過點A作AG⊥AC交BC于點G,可得出AC=AG,易證:△GAD≌△CAF,所以∠ACF=∠AGD=45°,∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設AC=4 ,BC=3,CD=x,求線段CP的長.考慮點D的位置,分兩種情況去解答.①點D在線段BC上運動,已知∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.即DQ=4-x,易證△AQD∽△DCP,再根據(jù)相似三角形的性質求解問題.②點D在線段BC延長線上運動時,由∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4,則DQ=4+x.過A作AQ⊥BC交CB延長線于點Q,則△AGD∽△ACF,得CF⊥BD,由△AQD∽△DCP,得再根據(jù)相似三角形的性質求解問題.

(1)CFBD位置關系是垂直;

證明如下:

AB=AC,ACB=45°,

∴∠ABC=45°.

由正方形ADEFAD=AF,

∵∠DAF=BAC=90°,

∴∠DAB=FAC,

∴△DAB≌△FAC(SAS),

∴∠ACF=ABD.

∴∠BCF=ACB+ACF=90°.

CFBD.

(2)AB≠AC時,CFBD的結論成立.

理由是:

過點AGAACBC于點G,

∵∠ACB=45°,

∴∠AGD=45°,

AC=AG,

同理可證:GAD≌△CAF

∴∠ACF=AGD=45°,BCF=ACB+ACF=90°,

CFBD.

(3)過點AAQBCCB的延長線于點Q,

①點D在線段BC上運動時,

∵∠BCA=45°,可求出AQ=CQ=4.

DQ=4﹣x,AQD∽△DCP,

,

,

②點D在線段BC延長線上運動時,

∵∠BCA=45°,

AQ=CQ=4,

DQ=4+x.

AAQBC,

∴∠Q=FAD=90°,

∵∠C′AF=C′CD=90°,AC′F=CC′D,

∴∠ADQ=AFC′,

AQD∽△AC′F.

CFBD,

∴△AQD∽△DCP,

,

,

練習冊系列答案
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