【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx﹣4經過點A(﹣8,0),對稱軸是直線x=﹣3,點B是拋物線與y軸交點,點M、N同時從原點O出發(fā),以每秒1個單位長度的速度分別沿x軸的負半軸、y的負半軸方向勻速運動,(當點N到達點B時,點M、N同時停止運動).過點M作x軸的垂線,交直線AB于點C,連接CN、MN,并作△CMN關于直線MC的對稱圖形,得到△CMD.設點N運動的時間為t秒,△CMD與△AOB重疊部分的面積為S.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)當0<t<2時,
①求S與t的函數關系式.
②直接寫出當t=_____時,四邊形CDMN為正方形.
(3)當點D落在邊AB上時,過點C作直線EF交拋物線于點E,交x軸于點F,連接EB,當S△CBE:S△ACF=1:3時,直接寫出點E的坐標為______.
【答案】(1)y=x2+x﹣4;(2)①S=﹣t2+2t;②;(3)(﹣4,﹣6)或(﹣2,﹣6).
【解析】
(1)拋物線y=ax2+bx﹣4經過點A(﹣8,0),對稱軸是直線x=﹣3,則拋物線與x軸另外一個交點坐標為:(2,0),則拋物線的表達式為:y=a(x+8)(x﹣2)=a(x2+6x﹣16),根據x=0時y=-4可得﹣16a=﹣4,解得:a=,即可求解;(2)①根據OM=ON=t可得AM=8﹣t,由MC∥y軸,根據平行線分線段成比例定理可得,可得MC=(8﹣t),進而可得S=S△MCN=MC×t=﹣t2+2t;②根據MC=ND=2t,即可求解;(3)過點E、F分別作AB的垂線交AB于點G、H,利用待定系數法可得直線AB的解析式,根據對稱性質可得DM=MN=t,可證明△DMN是等腰直角三角形,可得DN=MN,即可求出t值,可得點C(﹣2,﹣3),即可得出AC=3BC,根據S△CBE:S△ACF=1:3,可得EG=FH,利用AAS可證明△FHC≌△EGC,可得FC=EC,故點C是EF的中點,設F(m,0),根據中點坐標公式可用m表示出E點坐標,代入二次函數解析式即可求出m的值,可得E點坐標.
(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣4經過點A(﹣8,0),對稱軸是直線x=﹣3,
∴拋物線與x軸另外一個交點坐標為(2,0),
∴拋物線的表達式為:y=a(x+8)(x﹣2)=a(x2+6x﹣16),
∵點B是拋物線與y軸交點,
∴B(0,4),
∴﹣16a=﹣4,
解得:a=,
∴拋物線的表達式為:y=x2+x﹣4.
(2)如圖1,①∵OM=ON=t,
∴AM=8﹣t,
∵MC∥y軸,
∴,即,
解得:MC=(8﹣t),
∵△CMN與△CMD關于直線MC對稱,
∴S△CMD=S△CMN,
∵0<t<2,
∴S=S△MCN=MC×t=﹣t2+2t.
②四邊形CDMN為正方形時,MN=,
∴MC=ND==2t,
∴MC=(8﹣t)=2t,
解得:t=,
故答案為:
(3)設直線AB的解析式為y=kx+b,
∵A(-8,0),B(0,-4),
∴,
解得:,
∴直線AB的表達式為:y=﹣x﹣4,
如圖2,當點D在AB上時,設點M(﹣t,0),
∴N(0,-t),
當y=-t時,﹣x﹣4=-t,
解得:x=2t-8,
∴點D(2t﹣8,﹣t),
∴DN=8-2t,
∵OM=ON=t,
∴MN=t,∠OMN=∠ONM=45°,
∵MC⊥x軸,
∴∠CMN=45°,
∵△CMN與△CMD關于直線MC對稱,
∴∠DMC=∠CMN=45°,
∴∠DMN=90°,
∴△DMN是等腰直角三角形,
∴DN=MN,即8-2t=×t,
解得:t=2,
∵點C在直線AB上,MC⊥x軸,
∴當x=-2時,y=-×(-2)-4=-3,
∴點C(﹣2,﹣3),
∴AC==3,BC==,
∴AC=3BC,
如圖3,過點E、F分別作AB的垂線交AB于點G、H,
∵S△CBE:S△ACF=1:3,
∴AC·FH=3×BC·EG,即×3BC·FH=3×BC·EG,
∴EG=FH,
∵FH⊥AB,EG⊥AB,
∴∠FHC=∠EGC=90°,
在△FHC和△EGC中,,
∴△FHC≌△EGC,
∴FC=EC,
∴點C是EF的中點,設點F(m,0),E(x,y),
∵點C(﹣2,﹣3),
∴,,
解得:x=-4-m,y=-6,
∴點E(﹣4﹣m,﹣6),
把點E的坐標代入拋物線表達式得:-6=(-4-m)2+(-4-m)-4,
解得:m=0或﹣2,
當m=0時,-4-m=-4,點E坐標為(-4,-6),
當m=-2時,-4-m=-2,點E坐標為(-2,6),
綜上所述:點E的坐標為:(﹣4,﹣6)或(﹣2,﹣6),
故答案為:(﹣4,﹣6)或(﹣2,﹣6).
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【題目】如圖,在正方形ABCD的對角線AC上取點E,使得∠CDE=15°,連接BE.延長BE到F,連接CF,使得CF=BC.
(1)求證:DE=BE;
(2)求證:EF=CE+DE.
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【題目】如圖, ⊙O 的半徑是2,直線l與⊙O 相交于A、B 兩點,M、N 是⊙O 上的兩個動點,且在直線l的異側,若∠AMB=45°,則四邊形MANB 面積的最大值是 .
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(﹣2,0)、B(6,0)兩點.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)點P為y軸左側拋物線上一個動點,若S△PAB=32,求此時P點的坐標.
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【題目】一個不透明的布袋里裝有2個白球,1個黑球和若干個紅球,它們除顏色外其余都相同,從中任意摸出1個球,是紅球的概率為.
(1)布袋里紅球有______個.
(2)先從布袋中摸出個球后不放回,再摸出1個球,請用列表或畫樹狀圖的方法求出兩次摸到的球都是白球的概率.
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【題目】某水果店以10元/千克的價格收購一批農產品進行銷售,經過市場調查獲得部分數據如下表:
銷售價格x(元/千克) | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 | |
日銷售量y(千克) | 100 | 85 | 70 | 55 | 40 |
(1)請你根據表中的數據,用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定y與x之間的函數表達式;
(2)若該水果店要獲得375元的日銷售利潤,銷售單價x應定為多少元?
(3)該水果店應該如何確定這批水果的銷售價格,才能使日銷售利潤W最大?并求出最大利潤.
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【題目】如圖,拋物線與x軸交于點A,B,與軸交于點C。過點C作CD∥x軸,交拋物線的對稱軸于點D,連結BD。已知點A坐標為(-1,0)。
(1)求該拋物線的解析式;
(2)求梯形COBD的面積。
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【題目】在△ABC中,∠ACB=45°.點D(與點B、C不重合)為射線BC上一動點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF.
(1)如果AB=AC.如圖①,且點D在線段BC上運動.試判斷線段CF與BD之間的位置關系,并證明你的結論.
(2)如果AB≠AC,如圖②,且點D在線段BC上運動.(1)中結論是否成立,為什么?
(3)若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P,設AC=4,BC=3,CD=x,求線段CP的長.(用含x的式子表示)
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【題目】如圖①已知線段CD所在直線的解析式為y=﹣x+3,分別交坐標軸于點C、D,
(1)若以點B(1,0)為圓心的⊙B半徑為r,⊙B與線段CD只有一個交點,則r滿足 .
(2)如圖②,如果點P從(﹣5,0)出發(fā),以1個單位長度的速度沿x軸向右作勻速運動,當運動時間到t秒時,以點P為圓心、t個單位長度為半徑的圓P與線段CD所在直線有兩個交點,分別為點E、F,且∠EPF=2∠OCD,求此時t的值.
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