Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=4+ ，BC=2 ，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，

∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切線；
（2）解：過點C作CE⊥AB于點E．
在Rt△BCE中，∠B=60°，BC=2 ，
∴BE= BC= ，CE=3，
∵AB=4+ ，
∴AE=AB﹣BE=4，
∴在Rt△ACE中，AC= =5，
∴AP=AC=5．
∴在Rt△PAO中，OA= ，
∴⊙O的半徑為 ．
【解析】（1）連接半徑，利用圓周角定理和等腰三角形的性質可證出OA⊥PA，進而證出PA是⊙O的切線；（2）通過過C作垂線把∠B放到直角三角形中，利用60度角的三角函數，求出AC，進而求出⊙O的半徑.
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．