【題目】已知△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在直線AB,BC上,且∠DEC=∠DCE.
(1)如圖①,若點(diǎn)D在線段AB的延長線上,∠A=60°,求證:EB=AD;
(2)如圖②,若點(diǎn)D在線段AB上,∠A=90°,求證:EB= AD;
(3)在(2)的條件下,若CD平分∠ACB,P是線段CD上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q,P關(guān)于BC對稱,且BE=2,請直接寫出△BPQ周長的最小值。
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)4+2
【解析】
(1)過D點(diǎn)作BC的平行線交AC的延長線于點(diǎn)F.可得等邊三角形△ADF,再證明△DBE≌△CFD.可得BE=DF=AD;
(2)過D點(diǎn)作BC的平行線交AC于點(diǎn)G,只要證明△DBE≌△CGD即可解決問題;
(3)如圖③中,作PE⊥AC于E.只要證明△PBQ的周長=PB+BQ+PQ=2(PB+PH),由∠PCH=∠PCF,PH⊥CH,PE⊥CE,推出PH=PE,推出PB+PH=PB+PE,根據(jù)垂線段最短可知:當(dāng)P與D重合,E與A重合時,PB+PE的值最。
(1)證明:過D點(diǎn)作BC的平行線交AC的延長線于點(diǎn)F.
∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,
∴△ABC是等邊三角形.∴∠ABC=60°,
∵DF∥BC,
∴∠ADF=∠ABC=60°,
∴△ADF是等邊三角形。
∴AD=DF,∠AFD=60°,
∵∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DBE=∠AFD.
∵∠FDC=∠DCE,∠DCE=∠DEC,
∴∠FDC=∠DEC,ED=CD.
∴△DBE≌△CFD.
∴BE=DF,∴BE=AD.
(2)證明:過D點(diǎn)作BC的平行線交AC于點(diǎn)G,
∵△ABC是等腰三角形,∠A=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠DBE=180°45°=135°,
∵DG∥BC,∴∠GDC=∠DCE,
∠DGC=180°45°=135°,
∴∠DBE=∠DGC,
∵∠DCE=∠DEC,
∴ED=CD,∠DEC=∠GDC,
∴△DBE≌△CGD,
∴BE=GD,
∵∠ADG=∠ABC=45°,∠A=90°,
∴△ADG是等腰直角三角形。
∴DG=AD,
∴BE=AD.
(3)如圖③中,作PE⊥AC于E.
∵P、Q關(guān)于BC對稱,
∴PB=BQ,PH=QH,
∴△PBQ的周長=PB+BQ+PQ=2(PB+PH),
∵∠PCH=∠PCF,PH⊥CH,PE⊥CE,
∴PH=PE,
∴PB+PH=PB+PE,
當(dāng)P與D重合,E與A重合時,PB+PE的值最小,
∵BE=AD,BE=2,
∴AD=,
∵∠E=∠DCB=22.5°,∠ABC=∠E+∠BDE=45°,
∴∠E=∠BDE=22.5°,
∴BD=BE=2,
∴PB+PE的最小值為2+,
∴△PBQ的周長的最小值為4+2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】本學(xué)期學(xué)習(xí)了一元一次方程的解法,下面是林林同學(xué)的解題過程:解方程=1
解:方程兩邊同時乘以6,得:×6=1×6…………第①步
去分母,得:2(2x+1)-x+2=6………………第②步
去括號,得:4x+2-x+2=6…………………第③步
移項(xiàng),得:4x-x=6-2-2…………………第④步
合并同類項(xiàng),得:3x=2…………………………第⑤步
系數(shù)化1,得:x=…………………………第⑥步
上述林林的解題過程從第______步開始出現(xiàn)錯誤,錯誤的原因是______.
請你幫林林改正錯誤,寫出完整的解題過程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】補(bǔ)全證明過程
已知:如圖,∠1=∠2,∠C=∠D。
求證:∠A=∠F。
證明:∵∠1=∠2(已知),
又∠1=∠DMN(___________________),
∴∠2=∠_________(等量代換)。
∴DB∥EC(同位角相等,兩直線平行)。
∴∠A=∠F(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從2開始,連續(xù)的偶數(shù)相加,它們和的情況如下表:
當(dāng)n個最小的連續(xù)偶數(shù)(從2開始)相加時,它們的和與n之間有什么樣的關(guān)系,請用公式表示出來,并由此計(jì)算:
①2+4+6+…+200的值;
②(-22)+(-24)+(-26)+…+(-300)的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,,平分,且交于點(diǎn),平分,且交于點(diǎn),與相交于點(diǎn),連接
求的度數(shù);
求證:四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,我們不妨把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“中國結(jié)”.直線與 交于一點(diǎn).
(1)求直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖,定點(diǎn),動點(diǎn)在直線上運(yùn)動.當(dāng)線段最短時,求出點(diǎn)的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)是否為“中國結(jié)”;
(3)當(dāng)直線與的交點(diǎn)為“中國結(jié)”時,求滿足條件的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】開通了,中國聯(lián)通公布了資費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),其中包月元時,超出部分國內(nèi)撥打元/分.由于業(yè)務(wù)多,小明的爸爸打電話已超出了包月費(fèi).下表是超出部分國內(nèi)撥打的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).
時間/分 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
電話費(fèi)/元 | 0.36 | 0.72 | 1.08 | 1.44 | 1.80 | … |
(1)這個表反映了哪兩個變量之間的關(guān)系?哪個是自變量?哪個是因變量?
(2)如果用表示超出時間,表示超出部分的電話費(fèi),那么與的關(guān)系式是什么?
(3)如果打電話超出分鐘,需多付多少電話費(fèi)?
(4)某次打電話的費(fèi)用超出部分是元,那么小明的爸爸打電話超出幾分鐘?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,是的平分線,折疊使得點(diǎn)落在邊上的處,連接、.下列結(jié)論:①;②是等腰三角形;③;④.其中正確的結(jié)論是______.(填寫序號)
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