Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5

3

，∠C=30°．點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE、EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）△DEF能夠成為等邊三角形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明現(xiàn)由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=t=AE；
（2）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF為等邊三角形，則?AEFD為菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t=

10

3

；
（3）分三種情況討論：①∠EDF=90°時(shí)；②∠DEF=90°時(shí)；③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在；分別求出t的值即可．

解答：解：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵AB=BC•tan30°=5

3

×

3

3

=5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能夠成為等邊三角形，
則平行四邊形AEFD為菱形，則AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=

10

3

；
即當(dāng)t=

10

3

時(shí)，△DEF為等邊三角形；
（3）當(dāng)t=

2

5

或4時(shí)，△DEF為直角三角形；理由如下：
①∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=

2

5

；
②∠DEF=90°時(shí)，由（2）知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=

1

2

t，
∴t=4；
③∠EFD=90°時(shí)，此種情況不存在；
綜上所述，當(dāng)t=

2

5

或4時(shí)，△DEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)；考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力；特別注意（3）中分類討論三種情況，分別求出t的值，避免漏解．