Question

如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)y1=-

2

x

（x＜0）的圖象相交于A點，與y軸、x軸分別相交于B、C兩點，且C（2，0），當x＜-1時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，當-1＜x＜0時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)y2=

a

x

（x＞0）的圖象與y1=-

2

x

（x＜0）的圖象關(guān)于y軸對稱，在y2=

a

x

（x＞0）的圖象上取一點P（P點的橫坐標大于2），過P點作PQ⊥x軸，垂足是Q，若四邊形BCQP的面積等于2，求P點的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）根據(jù)當x＜-1時，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值；當-1＜x＜0時，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值，利用函數(shù)圖象得到A橫坐標為-1，將x=-1代入反比例解析式求出y的值，確定出A坐標，設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）設(shè)函數(shù)y₂=

a

x

（x＞0）的圖象與y₁=-

2

x

（x＜0）的圖象關(guān)于y軸對稱，確定出函數(shù)y₂=

a

x

（x＞0）的解析式，求出三角形BOC面積，設(shè)P（

2

a

，a），表示出PQ，OQ的長，利用梯形的面積公式表示出梯形PQOB的面積，由梯形PQOB面積減去三角形BOC面積表示出四邊形BCQP的面積，根據(jù)四邊形BCQP面積為2列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即為PQ的長．

解答：解：（1）在y=-

2

x

中，令x=-1，解得：y=2，
∴A的坐標是（-1，2），
設(shè)直線AC的解析式是：y=kx+b，
將A（-1，2），C（2，0）代入得：

-k+b=2 2k+b=0

，
解得：

k=- 2 3 b= 4 3

．
則一次函數(shù)的解析式是：y=-

2

3

x+

4

3

；

（2）函數(shù)y₂=

a

x

（x＞0）的圖象與y₁=-

2

x

（x＜0）的圖象關(guān)于y軸對稱，
∴函數(shù)y₂=

a

x

（x＞0）的解析式是：y=

2

x

，
在y=-

2

3

x+

4

3

中，令x=0，解得：y=

4

3

，則OB=

4

3

，
∴S_△OBC=

1

2

×

4

3

×2=

4

3

，
設(shè)P的縱坐標是a，則橫坐標是

2

a

，
則OQ=

2

a

，PQ=a，
S_梯形OBPQ=

1

2

（a+

4

3

）×

2

a

，
則

1

2

（a+

4

3

）×

2

a

-

4

3

=2，
解得：a=

4

7

．
則

2

a

=

2

4 7

=

7

2

．
則P的坐標是（

4

7

，

7

2

）．

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，對稱的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵．