Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（-4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC=BC．
（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；
（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由AC=BC，且OC⊥AB，利用三線合一得到O為AB中點(diǎn)，求出OB的長，確定出B坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，將P與A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式，將P坐標(biāo)代入反比例解析式求出m的值，即可確定出反比例解析式；
（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，由一次函數(shù)解析式求出C坐標(biāo)，得出直線BC斜率，求出過P且與BC平行的直線PD解析式，與反比例解析式聯(lián)立求出D坐標(biāo)，檢驗(yàn)得到四邊形BCPD為菱形，符合題意．

解答：解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-4，0），
∴O為AB的中點(diǎn)，即OA=OB=4，
∴P（4，2），B（4，0），
將A（-4，0）與P（4，2）代入y=kx+b得：

-4k+b=0 4k+b=2

，
解得：k=

1

4

，b=1，
∴一次函數(shù)解析式為y=

1

4

x+1，
將P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式為y=

8

x

；
（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，
對(duì)于一次函數(shù)y=

1

4

x+1，令x=0，得到y(tǒng)=1，即C（0，1），
∴直線BC的斜率為

0-1

4-0

=-

1

4

，
設(shè)過點(diǎn)P，且與BC平行的直線解析式為y-2=-

1

4

（x-4），即y=

-x+12

4

，
與反比例解析式聯(lián)立得：

y= -x+12 4 y= 8 x

，
消去y得：

-x+12

4

=

8

x

，
整理得：x²-12x+32=0，即（x-4）（x-8）=0，
解得：x=4（舍去）或x=8，
當(dāng)x=8時(shí)，y=1，
∴D（8，1），
此時(shí)PD=

(4-8)2+(2-1)2

=

17

，BC=

(4-0)2+(0-1)2

=

17

，即PD=BC，
∵PD∥BC，
∴四邊形BCPD為平行四邊形，
∵PC=

(4-0)2+(2-1)2

=

17

，即PC=BC，
∴四邊形BCPD為菱形，滿足題意，
則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，1）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，兩直線平行時(shí)斜率滿足的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．