Question

如圖，兩塊完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，將三角板A′B′C′繞其直角頂點(diǎn)C′按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α（0＜α≤90°），有以下四個結(jié)論：
①當(dāng)α=30°時，A′C與AB的交點(diǎn)恰好為AB中點(diǎn)；
②當(dāng)α=60°時，A′B′恰好經(jīng)過B；
③在旋轉(zhuǎn)過程中，存在某一時刻，使得AA′=BB′；
④在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AA′⊥BB′，
其中結(jié)論正確的序號是

 

．（多填或填錯得0分，少填酌情給分）

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=A′C，BC=B′C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出等邊三角形，判斷出①②正確，求出△AA′C和△BB′C相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AA′=2BB′，判斷出③錯誤，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°求出AA′與BB′的夾角為90°，判斷出④正確．

解答：解：∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，
∴AC=A′C，BC=B′C，
α=30°時，∠A′CB=60°，
∴A′C與AB的交點(diǎn)與點(diǎn)B、C構(gòu)成等邊三角形，
∴A′C與AB的交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，故①正確；
α=60°時，∠B′CB=60°，
∴A′B′恰好經(jīng)過B，故②正確；
在旋轉(zhuǎn)過程中，∠ACA′=∠BCB′=α，
∴△AA′C∽△BB′C，
∴

AA′

BB′

=

AC

BC

=

3

，
∴AA′=

3

BB′，故③錯誤；
∵∠CAA′=∠CBB′=

1

2

（180°-α），
∴AA′與BB′的夾角為360°-

1

2

（180°-α）×2-（90°+α）=90°，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中，始終存在AA′⊥BB′，故④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．