Question

觀察下列等式

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫(xiě)出：

1

n(n+1)

=

 

． 
（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并計(jì)算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

．

Answer 1

考點(diǎn)：有理數(shù)的混合運(yùn)算,規(guī)律型：數(shù)字的變化類

專題：

分析：（1）由算式可以看出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）①②由（1）的規(guī)律直接抵消得出答案即可；
（3）每一項(xiàng)提取

1

4

，利用（1）的規(guī)律推得出答案即可．

解答：解：（1）

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

． 
（2）直接寫(xiě)出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

2006

2007

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

n

n+1

．
（3）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2008×2010

=

1

4

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

1004

-

1

1005

）
=

1

4

×

1004

1005

=

251

1005

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算以及數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特點(diǎn)，拆項(xiàng)計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．