Question

【題目】（1）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，且BD=BA，點E在BC的延長線上且CE=CA，試求∠DAE的度數；

（2））如果把第（1）題中“∠BAC=90°”的條件改為“∠BAC＞90°”，其余條件不變，那么∠DAE與∠BAC有怎樣的數量關系？

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：

(1) 要求∠DAE的度數只要得到∠DAC與∠CAE的度數然后求和即可. 分析條件可知，△ABC，△ABD，△ACE均為等腰三角形. ∠B的度數易知，故∠BAD的度數可以在△ABD中由三角形內角和得到，進而可以得到∠DAC的度數. ∠ACB的度數易知，故∠CAE的度數可由三角形的外角關系得到. 這樣即可求得∠DAE的度數.

(2) 通觀第(1)小題的分析可知，∠DAE的度數實質上是由∠BAC的度數通過運算得到的. 分析本題的幾何圖形可知，第(2)小題所改變的條件并沒有影響各角之間的幾何關系. 因此，第(1)小題的思路可以用來求解∠DAE與∠BAC的數量關系. 求解時，參照第(1)小題的思路，將∠BAC當作代表角度的代數符號代入相應的式子進行運算，從而得到∠DAE與∠BAC的數量關系.

試題解析：

(1) ∠DAE=45°. 求解過程如下：

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AB=BD，

∴在△ABD中， ，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-67.5°=22.5°，

∵∠ACB是△ACE的一個外角，

∴∠ACB=∠CEA+∠CAE，

∵CE=CA，

∴，

∵∠ACB=45°，

∴，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=22.5°+22.5°=45°.

(2) . 理由如下：

∵在△ABC中，AB=AC，

∴,

∵AB=BD，

∴在△ABD中， ，

∴，

∵∠DAC=∠BAC-∠BAD，

∴，

∵∠ACB是△ACE的一個外角，

∴∠ACB=∠CEA+∠CAE，

∵CE=CA，

∴在△ACE中， ，

∵，

∴，

∴.