Question

【題目】如圖，在△ABC中，點O在AB邊上，過點O作BC的平行線交∠ABC的平分線于點D ， 過點B作BE⊥BD交直線OD于點E ．

（1）求證：OE＝OD；
（2）當點O在AB的什么位置時，四邊形BDAE是矩形？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：∵BD是∠ABC的角平分線，

∴∠ABD＝∠DBC；∵ED∥BC，

∴∠ODB＝∠DBC＝∠ABD，

∴△OBD為等腰三角形，

∴OB＝OD，在Rt△EBD中，OB＝OD，那么O就是斜邊ED的中點．

∴OE＝OD．

（2）

解答：O為AB的中點時，四邊形BDAE為矩形

∵四邊形BDAE為矩形，

∴∠AEB為直角即△AEB為直角三角形，OA＝OB＝OE＝OD，

∵Rt△AEB中，OE＝OA＝OB，

∴O為斜邊AB的中點，

∴O為AB的中點時，四邊形BDAE為矩形．

【解析】（1）根據角平分線和等腰三角形腰長相等性質證明OB＝OD ， 再根據直角三角形中線的性質即可判定O點為DE的中點，即OE＝OD；（2）設定四邊形BDAE為矩形，可求出Rt△AEB中，O點為斜邊AB的中點.
【考點精析】通過靈活運用直角三角形斜邊上的中線和矩形的判定方法，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．