Question

如圖，直線y=-

3

3

x+

2 3

3

與x軸的相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，⊙O與x軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C，與直線AB相切于點(diǎn)D，
（1）求A、B、C的坐標(biāo)．
（2）求過(guò)點(diǎn)A、B、C的二次函數(shù)的解析式．
（3）在（2）中的二次函數(shù)圖象上是否存在于不同于點(diǎn)B的點(diǎn)P，使得S_△PAC=S_△ABC？如果存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）在解析式中令y=0，即可求得A的橫坐標(biāo)，令x=0，即可求得B的縱坐標(biāo)，在直角△OAB中，令三角函數(shù)求得∠BAO的度數(shù)，然后連接OD，在直角△OAD中，利用三角函數(shù)求得OD的長(zhǎng)，則OC即可求得，從而求得C的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（3）S_△PAC=S_△ABC，則P的縱坐標(biāo)與B的縱坐標(biāo)相等或互為相反數(shù)，以及縱坐標(biāo)，代入函數(shù)的解析式即可求得橫坐標(biāo)．

解答：解：（1）在y=-

3

3

x+

2 3

3

中，令y=0，解得：x=2，則A的坐標(biāo)是（2，0）；
在y=-

3

3

x+

2 3

3

中，令x=0，解得y=

2 3

3

，則B的坐標(biāo)是（0，

2 3

3

）．
則OA=2，OB=

2 3

3

，
則tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∠BAO=30°．
連接OD，
∵直線AB相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥AB，
∴OD=OA•sin∠BAO=2×

1

2

=1，
∴OC=OD=1，
∴C的坐標(biāo)是（-1，0）；

（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式是y=a（x+1）（x-2），
把（0，

2 3

3

）代入得：-2a=

2 3

3

，解得：a=-

3

3

．
則二次函數(shù)的解析式是：y=-

3

3

（x+1）（x-2）；

（3）在y=-

3

3

（x+1）（x-2）中，令y=

2 3

3

，得：-

3

3

（x+1）（x-2）=

2 3

3

，
解得：x=1或0（舍去），
此時(shí)P的坐標(biāo)是（1，

2 3

3

），
在y=-

3

3

（x+1）（x-2）中，令y=-

2 3

3

，得：-

3

3

（x+1）（x-2）=-

2 3

3

，
解得：x=

1± 17

2

．
則P的坐標(biāo)是（

1+ 17

2

，-

2 3

3

）或（

1- 17

2

，-

2 3

3

）．
則P的坐標(biāo)是：（1，

2 3

3

）或（

1+ 17

2

，-

2 3

3

）或（

1- 17

2

，-

2 3

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及圓的切線的性質(zhì)和三角函數(shù)，正確理解P的縱坐標(biāo)是關(guān)鍵．