Question

若二次方程組

x2-y2=1 y=k(x-2)+1

有唯一解，則k的所有可能取值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：高次方程

專題：計(jì)算題

分析：先利用代入消元法得到（1-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-2=0，再分類討論：當(dāng)1-k²=0時，即k=±1，關(guān)于x的方程變形為一元一次方程，方程有一個解，則方程組有唯一解；當(dāng)1-k²≠0時，關(guān)于x的方程變形為一元二次方程，當(dāng)△=0時，方程有兩組相同的解，方程組有唯一解，所以[2k（2k-1）]²-4（1-k²）（-4k²+4k-2）=0，整理得3k²-4k+2=0，而此方程無實(shí)數(shù)根，然后綜合兩種情況得到k=±1．

解答：解：

x2-y2=1① y=k(x-2)+1②

，
把②代入①得x²-[k（x-2）+1]²=1，
整理得（1-k²）x²+2k（2k-1）x-4k²+4k-2=0，
當(dāng)1-k²=0時，即k=±1，關(guān)于x的方程變形為一元一次方程，方程有一個解；
當(dāng)1-k²≠0時，即k≠±1，關(guān)于x的方程變形為一元二次方程，當(dāng)△=0時，方程有兩組相同的解，
即[2k（2k-1）]²-4（1-k²）（-4k²+4k-2）=0，
整理得3k²-4k+2=0，此方程無實(shí)數(shù)根，
所以當(dāng)k=1或-1時，原方程組有唯一解．
故答案為-1，1．

點(diǎn)評：本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒�，把高次方程化為次�?shù)較低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程．也有的通過因式分解來解．