Question

【題目】如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x-4）（a為常數(shù)，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線y=-x+b與拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）P為直線BD下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PD、PB，求△PBD面積的最大值；

（3）設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到F，再沿線段FD以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)最少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）（-2，2）

【解析】

（1）首先求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，然后求出直線BD的解析式，求得點(diǎn)D坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得a的值；

（2）用三角形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式，再確定出最大值；

（3）由題意，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線AF+DF，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=AF+DF．如圖，作輔助線，將AF+DF轉(zhuǎn)化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點(diǎn)，即為所求的F點(diǎn)．

（1）拋物線y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，

∴A（-2，0），B（4，0）．

∵直線y=-x+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（4，0），

∴-×4+b=0，解得b=，

∴直線BD解析式為：y=-x+，

當(dāng)x=-5時(shí)，y=3，

∴D（-5，3），

∵點(diǎn)D（-5，3）在拋物線y=a（x+2）（x-4）上，

∴a（-5+2）（-5-4）=3，

∴a=．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y=x2-x-

（2）設(shè)P（m，m2-m-）

∴S△BPD=×9[（-m+）-（m2-m-）]

=-m2-m+10

=-（m+）2+

∴△BPD面積的最大值為；

（3）如圖，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直線BD于點(diǎn)F，

∵由（2）得，DN=3，BN=9，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FG=DF×sin30°=FD，

∴當(dāng)且僅當(dāng)AH⊥DK時(shí)，AF+FH最小，

點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：t=AF+FD=AF+FH，

∵lBD：y=-x+，

∴Fx=Ax=-2，F（-2，2）

∴當(dāng)F坐標(biāo)為（-2，2）時(shí)，用時(shí)最少．