Question

已知：如圖，C是線段BD上一點(diǎn)，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE=90°，tan∠ACB=2，AB=4，ED=3．求：
（1）線段BD的長；
（2）∠AEC的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計(jì)算題

分析：（1）利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，得到三角形ABC與三角形DCE相似，由相似得比例，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義及tan∠ACB的值，求出BC與CD的值，根據(jù)BC+CD求出BD的值即可；
（2）由三角形ABC與三角形DCE相似，根據(jù)AB與CD長求出相似比，進(jìn)而求出AC與CE的比值，即為∠AEC的正切值．

解答：解：（1）∵∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∠B=∠D=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
∴△ABC∽△CDE，
∴

AB

BC

=

CD

ED

，
∵tan∠ACB=

AB

BC

=2，AB=4，ED=3，
∴

CD

ED

=2，即BC=2，CD=6，
則BD=BC+CD=2+6=8；

（2）∵△ABC∽△CDE，
∴

AC

CE

=

AB

CD

=

4

6

=

2

3

，
則tan∠AEC=

AC

CE

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解直角三角形題型，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．