Question

【題目】閱讀下列材料，并完成相應的任務．

古希臘的幾何學家海倫在他的著作《度量論》一書中給出了利用三角形三邊之長求面積的公式﹣﹣﹣﹣海倫公式S＝（其中a，b，c是三角形的三邊長，，S為三角形的面積），并給出了證明

例如：在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，那么它的面積可以這樣計算：

∵a＝3，b＝4，c＝5

∴＝6

∴S＝＝＝6

事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數學家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．

根據上述材料，解答下列問題：

如圖，在△ABC中，BC＝7，AC＝8，AB＝9

（1）用海倫公式求△ABC的面積；

（2）如圖，AD、BE為△ABC的兩條角平分線，它們的交點為I，求△ABI的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）按照材料給出的公式，將數值代入即可求出面積；

（2）過點I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點F、G、H，利用角平分線的性質可知IF＝IH＝IG，利用第（1）問中求出的面積求出IF，最后利用三角形面積公式求△ABI的面積即可.

解：（1）∵BC＝7，AC＝8，AB＝9，

∴

答：△ABC面積是；

（2）如圖，過點I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點F、G、H，

∵AD、BE分別為△ABC的角平分線，

∴IF＝IH＝IG，

∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，

∴（9IF+8IF+7IF）＝

解得IF＝

故S△ABI＝ABFI＝×9×＝．