Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一點(diǎn)，且滿足∠BAD= ∠C，以AD為直徑的⊙O與AB，AC分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：直線BC是⊙O的切線；
（2）連接EF，若tan∠AEF= ，AD=4，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在△ABC中，

∵AC=BC，

∴∠CAB=∠B，

∵∠CAB+∠B+∠C=180°，

∴2∠B+∠C=180°，

∴∠B+ ∠C=90°，

∵∠BAD= ∠C，

∴∠B+∠BAD=90°，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AD為⊙O直徑，

∴直線BC是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接DF，EF．

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠AFD=90°，

∵∠ADC=90°，

∴∠ADF+∠FDC=∠C+∠FDC=90°，

∴∠ADF=∠C，

∵∠ADF=∠AEF，tan∠AEF= ，

∴tan∠C=tan∠ADF= ，

在Rt△ACD中，設(shè)AD=4x，則CD=3x，

∴AC= =5x，

∴BC=5x，BD=2x，

∵AD=4，

∴x=1，

∴BD=2．

【解析】（1）首先依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠B，然后結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得到∠B+ 1 2 ∠C=90°，然后依據(jù)題目條件可證明∠B+∠BAD=90°，然后依據(jù)切線的判定定理進(jìn)行證明即可；
（2）連接DF，EF，由圓周角定理可知DF⊥AC，然后依據(jù)同角的余角相等得到∠ADF=∠C，接下來，依據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等得到∠ADF=∠AEF，由tan∠AEF的值得到tan∠ADF的值，設(shè)出AD=4x、DC=3x，再由AC=BC，根據(jù)BC-CD表示出BD，再由AD的長(zhǎng)，最后，利用勾股定理求出x的值，從而可確定出BD的長(zhǎng).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用勾股定理的概念和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．