Question

已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸下方的拋物線y=ax²+bx+c上有一點(diǎn)G，使得∠GAB=∠BCD，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）設(shè)△ABD的外接圓為⊙E，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B且垂直于x軸，點(diǎn)P是⊙E上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線AP交l于點(diǎn)M，連接EM、PB．求tan∠MEB•tan∠PBA的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入到二次函數(shù)的解析式，利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GF⊥x軸，垂足為F．設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為（m，m²-4m+3），進(jìn)而得到點(diǎn)D（2，-1），利用勾股定理的逆定理得到△CBD是直角三角形，利用正切函數(shù)的定義得到AF=3GF，從而得到-3（m²-4m+3）=m-1，求得m的值即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1）得到△ABD是等腰直角三角形，從而確定圓心E是線段AB的中點(diǎn)，即E（2，0），半徑為1，設(shè)P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x軸，F(xiàn)為垂足．根據(jù)點(diǎn)A、P、M三點(diǎn)在一條直線上，得到

|y0|

|y1|

=

2

x1-1

，從而求解．

解答：解：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C，可得：

c=3 a+b+c=0，9a+3b+c=0

，
解得：

a=1 b=-4，c=3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3． 

（2）過(guò)點(diǎn)G作GF⊥x軸，垂足為F．設(shè)點(diǎn)G坐標(biāo)為（m，m²-4m+3），
∵點(diǎn)D（2，-1），
又∵B（3，0），C（0，3），
∴由勾股定理得：CD=2

5

，BD=

2

，BC=3

2

，
∵CD²=BC²+BD²，
∴△CBD是直角三角形，
∴tan∠GAF=tan∠BCD=

1

3

．
∵tan∠GAF=

GF

AF

=

1

3

，
∴AF=3GF，
即-3（m²-4m+3）=m-1，
解得：m₁=1（舍去），m₂=

8

3

．
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

8

3

，-

5

9

）．

（3）∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1），
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴圓心E是線段AB的中點(diǎn)，即E（2，0），半徑為1，
設(shè)P（x₁，y₁）（1＜x₁＜3，y₁≠0），M（3，y₀），作PF⊥x軸，F(xiàn)為垂足．
∵點(diǎn)A、P、M三點(diǎn)在一條直線上，
∴

|y0|

|y1|

=

2

x1-1

，即|y0|=

2|y1|

x1-1

．
∴tan∠MEB=

|y0|

EB

=

2|y1|

x1-1

，
∵AB為直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠PBA=∠APF，
∴tan∠PBA=tan∠APF=

x1-1

|y1|

，
∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2|y1|

x1-1

•

x1-1

|y1|

=2．
另解：同上，連接PE，
∵PE=1，PF=|y₁|，EF=|x₁-2|，
在Rt△PEF中，根據(jù)勾股定理得：（x₁-2）²+y12=1，
即1-（x₁-2）²=y12，…（12分），
∵tan∠PBA=

|y1|

3-x1

，…（13分）
∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2y12

-(x12-4x1+3)

=

2y12

1-(x1-2)2

=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線解析式的確定等二次函數(shù)的綜合知識(shí)，（2）（3）小題中，都用到了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．