Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，O是AB的中點(diǎn)，D是AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作BE∥AC，交DO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ADBE是平行四邊形；
（2）當(dāng)DE⊥AB時(shí)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由BE∥AC，O是AB的中點(diǎn)，易證得△AOD≌△BOE，即可得OD=OE，然后根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，證得四邊形ADBE是平行四邊形；
（2）首先由DE⊥AB，可得AD=BD，然后設(shè)AD=BD=x，由勾股定理可求得x的值，然后由勾股定理求得OD的長(zhǎng)，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵BE∥AC，
∴∠OAD=∠OBE，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OA=OB，
在△OAD和△OBE中，

∠OAD=∠OBE OA=OB ∠AOD=∠BOE

，
∴△AOD≌△BOE（ASA），
∴OD=OE，
∴四邊形ADBE是平行四邊形；

（2）解：∵OA=OB，DE⊥AB，
∴AD=BD，
設(shè)AD=BD=x，則CD=AC-AD=8-x，
∵∠C=90°，BC=6，
∴AB=

AC2+BC2

=10，（8-x）²+6²=x²，
解得：x=

25

4

，
即AD=

25

4

，
∵OA=

1

2

AB=5，
∴OD=

AD2-OA2

=

7 5

4

，
∴DE=2OD=

7 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．