Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以頂點(diǎn)B為圓心，邊BC長為半徑畫弧，交AD邊于點(diǎn)E，連結(jié)BE，過C點(diǎn)作CF⊥BE于F．
（1）求證：△ABE≌△FCB；
（2）求EF的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，易證得∠AEF=∠FBC，又由CF⊥BE，可得∠A=∠BFC=90°，然后由BE=BC，利用AAS即可判定：△ABE≌△FCB；
（2）利用勾股定理可求得AE的長，繼而求得答案．

解答：證明：（1）∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
∴∠AEF=∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
在△ABE和△FCB中，

∠A=∠BFC=90° ∠AEB=∠CBF BE=BC

，
∴△ABE≌△FCB（AAS）；

（2）∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE=

BE2-AB2

=4，
∴EF=BE-BF=1．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．