Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒

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cm的速度向終點B運動；同時，動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，將△PQC沿BC翻折，點P的對應點為點P′．設Q點運動的時間t秒，若四邊形QPCP′為菱形，求t的值．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,勾股定理,菱形的性質

專題：幾何圖形問題,動點型

分析：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，AP=

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t，BQ=t，（0≤t＜6），由△ABC為直角三角形得∠A=∠B=45°，則可判斷△APE和△PBD為等腰直角三角形，所以PE=AE=

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AP=t，BD=PD，則CE=AC-AE=6-t，由四邊形PECD為矩形得到PD=EC=6-t，則BD=6-t，所以QD=BD-BQ=6-2t，在Rt△PCE中，利用勾股定理得PC²=t²+（6-t）²，在Rt△PDQ中，PQ²=（6-t）²+（6-2t）²，然后根據(jù)菱形的性質得PQ=PC，即t²+（6-t）²=（6-t）²+（6-2t）²，然后解方程得到滿足條件的t的值．

解答：解：作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，如圖，AP=

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t，BQ=tcm，（0≤t＜6）
∵∠C=90°，AC=BC=6cm，
∴△ABC為直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∴△APE和△PBD為等腰直角三角形，
∴PE=AE=

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AP=tcm，BD=PD，
∴CE=AC-AE=（6-t）cm，
∵四邊形PECD為矩形，
∴PD=EC=（6-t）cm，
∴BD=（6-t）cm，
∴QD=BD-BQ=（6-2t）cm，
在Rt△PCE中，PC²=PE²+CE²=t²+（6-t）²，
在Rt△PDQ中，PQ²=PD²+DQ²=（6-t）²+（6-2t）²，
∵四邊形QPCP′為菱形，
∴PQ=PC，
∴t²+（6-t）²=（6-t）²+（6-2t）²，
∴t₁=2，t₂=6（舍去），
∴t的值為2．

點評：本題考查了折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．也考查了等腰直角三角形的性質、菱形的性質和勾股定理．