【題目】在Rt△ABC,∠C=90°,D為AB邊上一點(diǎn),點(diǎn)M、N分別在BC、AC邊上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于點(diǎn)F,NE⊥AB于點(diǎn)E.

(1)特殊驗(yàn)證:如圖1,若AC=BC,且D為AB中點(diǎn),求證:DM=DN,AE=DF;
(2)拓展探究:若AC≠BC.
①如圖2,若D為AB中點(diǎn),(1)中的兩個(gè)結(jié)論有一個(gè)仍成立,請(qǐng)指出并加以證明;
②如圖3,若BD=kAD,條件中“點(diǎn)M在BC邊上”改為“點(diǎn)M在線段CB的延長(zhǎng)線上”,其它條件不變,請(qǐng)?zhí)骄緼E與DF的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

【答案】
(1)證明:若AC=BC,則△ABC為等腰直角三角形,

如答圖1所示,連接CD,則CD⊥AB,又∵DM⊥DN,∴∠1=∠2.

在△AND與△CMD中,

∴△AND≌△CMD(ASA),

∴DN=DM.

∵∠4+∠1=90°,∠1+∠3=90°,∴∠4=∠3,

∵∠1+∠3=90°,∠3+∠5=90°,∴∠1=∠5,

在△NED與△DFM中,

∴△NED≌△DFM(ASA),

∴NE=DF.

∵△ANE為等腰直角三角形,∴AE=NE,∴AE=DF


(2)①答:AE=DF.

證法一:由(1)證明可知:△DEN∽△MFD

,即MFEN=DEDF.

同理△AEN∽△MFB,

,即MFEN=AEBF.

∴DEDF=AEBF,

∴(AD﹣AE)DF=AE(BD﹣DF),

∴ADDF=AEBD,∴AE=DF.

證法二:如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P,DQ⊥AC于點(diǎn)Q.

∵D為AB中點(diǎn),

∴DQ=PC=PB.

易證△DMF∽△NDE,∴

易證△DMP∽△DNQ,∴ ,

易證△AEN∽△DPB,∴ ,

,∴AE=DF.

②答:DF=kAE.

證法一:由①同理可得:DEDF=AEBF,

∴(AE﹣AD)DF=AE(DF﹣BD)

∴ADDF=AEBD

∵BD=kAD

∴DF=kAE.

證法二:如答圖3,過(guò)點(diǎn)D作DP⊥BC于點(diǎn)P,DQ⊥AC于點(diǎn)Q.

易證△AQD∽△DPB,得 ,即PB=kDQ.

由①同理可得: ,

又∵ ,

,

∴DF=kAE


【解析】(1)連接CD,首先證明△AND≌△CMD,依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到DN=DM,然后再證明△NED≌△DFM,從而可得到DF=NE,然后依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到AE=NE=DF;
(2)①若D為AB中點(diǎn),則△DEN∽△MFD,△AEN∽△MFB,然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,接下來(lái),由線段比例關(guān)系可以證明AE=DF結(jié)論依然成立;②若BD=kAD,證明思路與①類似.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)已知四邊形ABCD中,∠A=105,∠D=125,求∠F的度數(shù);

3)猜想∠F、∠A、∠D之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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經(jīng)調(diào)查:購(gòu)買一臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買一臺(tái)B型設(shè)備多2萬(wàn)元,購(gòu)買2臺(tái)A型設(shè)備比購(gòu)買3臺(tái)B型設(shè)備少6萬(wàn)元.

(1)求xy的值;

(2)如果治污公司購(gòu)買污水處理設(shè)備的資金不超過(guò)105萬(wàn)元,求該治污公司有哪幾種購(gòu)買方案;

(3)在(2)的條件下,如果月處理污水量不低于2040噸,為了節(jié)約資金,請(qǐng)為該公司設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案.

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甲、乙兩地之間的路程為______m,小明步行的速度為______;

求小亮離甲地的路程y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并寫(xiě)出自變量x的取值范圍;

求兩人相遇的時(shí)間.

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請(qǐng)你根據(jù)以上的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)本次共調(diào)查了名學(xué)生,其中最喜愛(ài)戲曲的有人;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,最喜愛(ài)體育的對(duì)應(yīng)扇形的圓心角大小是
(2)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)分析,估計(jì)該校2000名學(xué)生中最喜愛(ài)新聞的人數(shù).

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1)請(qǐng)比較S1S2的大小: S1   S2;

2)若一個(gè)正方形與甲的周長(zhǎng)相等.

求該正方形的邊長(zhǎng)(用含m的代數(shù)式表示);

若該正方形的面積為S3,試探究:S3S1的差(即S3S1)是否為常數(shù)?若為常數(shù),求出這個(gè)常數(shù);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)若滿足條件0n|S1S2|的整數(shù)n有且只有8個(gè),直接寫(xiě)出m的值并分別求出S1S2的值.

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A. 15151B. 15152C. 15153D. 15154

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原式=y+2)(y+6+4 (第一步)

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=y+42(第三步)

=x24x+42(第四步)

回答下列問(wèn)題:

1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式

2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?________.(填徹底不徹底)若不徹底,請(qǐng)直接寫(xiě)出因式分解的最后結(jié)果_________

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