Question

在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），已知拋物線y=

2

3

x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-2）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式，并寫(xiě)出其對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)E為該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形ACEF為梯形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的表達(dá)式，進(jìn)一步得到對(duì)稱軸；
（2）因?yàn)锳C與EF不平行，且四邊形ACEF為梯形，所以有①CE∥AF．分別求出直線CE、AF的解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；②AE∥CF，由A、E兩點(diǎn)同在x軸，則CF平行于x軸，容易得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）△BDP和△CDP的面積相等，可得DP∥BC，根據(jù)待定系數(shù)法得到直線BC的解析式，根據(jù)兩條平行的直線k值相同可得直線DP的解析式，進(jìn)一步即可得到t的值．

解答：解：（1）∵拋物線y=

2

3

x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，-2），
∴

2 3 -b+c=0 c=-2

，
解得

b=- 4 3 c=-2

．
故拋物線的表達(dá)式為：y=

2

3

x²-

4

3

x-2=

2

3

（x-1）²-

8

3

，對(duì)稱軸為直線x=1；

（2）①CE∥AF，
設(shè)直線CE的解析式為：y=kx+b，
將E（1，0），C（0，-2）坐標(biāo)代入得：

k+b=0 b=-2

，解得

k=2 b=-2

，
∴直線CE的解析式為：y=2x-2．
∵AC與EF不平行，且四邊形ACEF為梯形，
∴CE∥AF．
∴設(shè)直線AF的解析式為：y=2x+n．
∵點(diǎn)A（-1，0）在直線AF上，
∴-2+n=0，∴n=2．
∴設(shè)直線AF的解析式為：y=2x+2．
當(dāng)x=1時(shí)，y=4，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，4）；
②AE∥CF，
由圖知，A、E兩點(diǎn)同在x軸，則CF平行于x軸，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-2），
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，4）或（1，-2）．

（3）點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（1，-

8

3

），
若△BDP和△CDP的面積相等，
則DP∥BC，
則直線BC的解析式為y=

2

3

x-2，
∴直線DP的解析式為y=

2

3

x-

10

3

，
當(dāng)y=0時(shí)，x=5，
∴t=5．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式，待定系數(shù)法求直線的解析式，兩條平行的直線之間的關(guān)系，三角形面積，分類(lèi)思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．