Question

如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)（包括點(diǎn)A、點(diǎn)C），點(diǎn)E在直線BC上，且PE=PB．
（1）求證：△BCP≌△DCP；
（2）連接DE，求證：△DPE為等腰直角三角形；
（3）若AB=2

2

，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)過程中，求出△DPE面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，然后利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等即可；
（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CDP=∠CBP，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBP=∠E，從而得到∠CDP=∠E，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠DPE=∠DCE=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的定義證明即可；
（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)列式表示出△DPE面積，然后判斷出點(diǎn)P與點(diǎn)A或C重合時(shí)，面積最大，點(diǎn)P與正方形的中心重合是面積最小，然后求解即可．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°，
在△BCP和△DCP中，

BC=CD ∠ACB=∠ACD CP=CP

，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）證明：∵△BCP≌△DCP，
∴∠CDP=∠CBP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∴∠CDP=∠E，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴△DPE為等腰直角三角形；

（3）解：∵△DPE為等腰直角三角形，
∴△DPE面積=

1

2

DP²，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)A或C重合時(shí)，面積最大，點(diǎn)P與正方形的中心重合是面積最小，
∵AB=2

2

，
∴△DPE面積的最大值=

1

2

×（2

2

）²=4，
最小值=

1

2

×（

2

2

×2

2

）²=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判斷與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）判斷出△DPE的面積最大和最小時(shí)點(diǎn)P的位置．