Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，AB=2，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=2．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)P為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長的最小值；

（3）設(shè)D為拋物線上一點(diǎn)，E為對稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，B，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 　．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）（2，﹣1）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線對稱軸的定義易求A（1，0），B（3，0），所以設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求得h，得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對稱軸于點(diǎn)P，連接PA．根據(jù)拋物線的對稱性質(zhì)得到PA=PB，則△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來求該三角形的周長的最小值即可．

（3）如圖2，根據(jù)“菱形ADBE的對角線互相垂直平分，拋物線的對稱性”得到點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（2，﹣1）．

解：（1）∵AB=2，對稱軸為直線x=2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，0）．

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，

將A（1，0）代入得：，解得．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，即．

（2）如圖1，連接AC、BC，BC交對稱軸于點(diǎn)P，連接PA．

由（1）拋物線解析式為，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3）．

∴,．

∵點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸x=2對稱，∴PA=PB．∴PA+PC=PB+PC．此時(shí)，PB+PC=BC．

∴點(diǎn)P在對稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（PA+PB）的最小值等于BC．

∴△APC的周長的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=．

（3）如圖2，根據(jù)“菱形ADBE的對角線互相垂直平分，拋物線的對稱性”得到點(diǎn)D是拋物線y=x2-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（2，-1），

當(dāng)E、D點(diǎn)在x軸的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此時(shí)不合題意，

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（2，-1）．