【題目】已知如圖1,在以O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yx2+bx+cx軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C0,﹣1),連接AC,AO2CO,直線l過點(diǎn)G0,t)且平行于x軸,t<﹣1

1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式;

2)若D(﹣4,m)為拋物線yx2+bx+c上一定點(diǎn),點(diǎn)D到直線l的距離記為d,當(dāng)dDO時,求t的值.

3)如圖2,若E(﹣4,m)為上述拋物線上一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)F,使得△BEF是直角三角形,若存在求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在說明理由.

【答案】1yx21;(2t=﹣2;(3)存在點(diǎn)F,使得△BEF是直角三角形,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,8).

【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)C坐標(biāo),可得c=﹣1,然后根據(jù)AO2CO,可得出點(diǎn)A坐標(biāo),將點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出b值,即可得出函數(shù)解析式;

2)根據(jù)拋物線的解析式求得D的坐標(biāo)為(﹣43),即可求得OD5,結(jié)合D的縱坐標(biāo)3,即可求得t=﹣2

3)分兩種情況討論:當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時,則BFBE,根據(jù)直線BE的解析式求得直線BF的解析式,然后和拋物線解析式聯(lián)立方程,求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可;當(dāng)F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時,求得到直線BE上距離為最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo),然后求得線段BE的中點(diǎn)QP點(diǎn)的距離,和BE的一半比較即可判斷以BE為直徑的圓與拋物線無交點(diǎn),故此種情況不存在,綜上求得F點(diǎn)的坐標(biāo).

1)∵C0,﹣1),

yx2+bx1,

又∵AO2OC,

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣2,0),

代入得:12b10

解得:b0,

∴解析式為:yx21

2)∵D(﹣4,m)為拋物線yx21上一定點(diǎn),

m×1613,

D(﹣4,3),

OD5,

d5,

t=﹣(53)=﹣2

3)點(diǎn)E(﹣4,m)在拋物線yx21的上,

m3,

E(﹣43),

B2,0),

∴直線BEy=﹣x+1

如圖1,當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時,則BFBE,

∴直線BF的斜率為2,

設(shè)直線BF的解析式為y2x+n,

B2,0)代入得2×2+n0

n=﹣4,

∴直線BF的解析式為y2x4,

F6,8);

當(dāng)F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時,

設(shè)BE的平行線y=﹣x+b與拋物線有且只有一個交點(diǎn)P,

∴﹣x+bx21,

整理得x2+2x4b40

4+44b+4)=0,

解得b=﹣,

∴平行線為y=﹣,

x2+2x+10

解得x=﹣1,

y=﹣

∴平行線與拋物線的交點(diǎn)P為(﹣1,﹣),

B20),E(﹣43),

BE ,

BE的中點(diǎn)Q為(﹣1),

QP+BE,

∴此種情況不存在,

故在拋物線上存在點(diǎn)F,使得△BEF是直角三角形,點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,8).

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