Question

12．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2（m-1）x-m（m+2）．
（1）試說明：該拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）若該拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)分別為（x₁，0），（x₂，0），且|x₁-x₂|=6，拋物線與y軸交于負(fù)半軸，試求其解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程根的判別式直接判定；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系直接計算即可．

解答 解：（1））令y=0，
∴x²-2（m-1）x-m（m+2）．
∵△=4（m-1）²+4m（m+2）=8m²+4＞0，
∴x²-2（m-1）x-m（m+2）總有兩個不相等的實數(shù)根．
∴該拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=-m（m+2），
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-{4}_{1}x{x}_{2}}$=$\sqrt{8{m}^{2}+4}$=6，
∴m₁=2，m₂=-2，
∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴-m（m+2）＜0，
∴m=2，
∴拋物線解析式為y=x²-8．．

點評 此題是拋物線與x軸的交點題目，主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解本題的關(guān)鍵理解根與系數(shù)的關(guān)系．