Question

17．某商品公司為指導(dǎo)某種應(yīng)季商品的生產(chǎn)和銷(xiāo)售，在對(duì)歷年市場(chǎng)行情和生產(chǎn)情況進(jìn)行調(diào)查基礎(chǔ)上，對(duì)今年這種商品的市場(chǎng)售價(jià)和生產(chǎn)成本進(jìn)行了預(yù)測(cè)并提供了兩個(gè)方面的信息：如圖（1）（2）．

注：兩圖中的每個(gè)實(shí)心黑點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)分別指相應(yīng)月份一件商品的售價(jià)和成本，生產(chǎn)成本6月份最高；圖（1）的圖象是線段，圖（2）的圖象是拋物線．
（1）在3月份出售這種商品，一件商品的利潤(rùn)是多少？
（2）設(shè)t月份出售這種商品，一件商品的成本Q（元），求Q關(guān)于t的函數(shù)解析式．
（3）設(shè)t月份出售這種商品，一件商品的利潤(rùn)W（元），求W關(guān)于t的函數(shù)解析式．
（4）問(wèn)哪個(gè)月出售這種商品，一件商品的利潤(rùn)最大？簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）從圖易知3月份每件商品售價(jià)6元，成本1元，易求利潤(rùn)；
（2）根據(jù)圖象特征設(shè)解析式為頂點(diǎn)式易求解析式；
（3）根據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算方法，顯然需求直線解析式，再求差，
（4）運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)計(jì)算利潤(rùn)．

解答 解：（1）每件商品在3月份出售時(shí)的利潤(rùn)為5元；

（2）∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）
∴設(shè)拋物線的解析式為Q=a（t-6）²+4
∵拋物線過(guò)（3，1）點(diǎn)
∴1=a（3-6）²+4
解得：a=-$\frac{1}{3}$
∴Q=-$\frac{1}{3}$（t-6）²+4=-$\frac{1}{3}$t²+4t-8，其中t=3、4、5、6、7；
（3）設(shè)每件商品的售價(jià)M（元）與時(shí)間t（月）之間的函數(shù)關(guān)系式為M=kt+b
∵線段過(guò)（3，6）、（6，8）兩點(diǎn)
∴3k+b=6 6k+b=8
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=4
∴M=$\frac{2}{3}$t+4，其中t=3、4、5、6、7；
∴W=M-Q=（$\frac{2}{3}$t+4）-（-$\frac{1}{3}$t²+4t-8）=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{10}{3}$t+12（其中t=3、4、5、6、7）；
（4）每件商品的利潤(rùn)W（元）與時(shí)間t（月）的函數(shù)關(guān)系式為
W=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{10}{3}$t+12=$\frac{11}{3}$（t-5）²+$\frac{11}{3}$，其中t=3、4、5、6、7
∴當(dāng)t=3或7時(shí)，W的最大值為$\frac{55}{3}$元．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解本題的關(guān)鍵是讀懂題意，難度在第3個(gè)問(wèn)題：表示利潤(rùn)．運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值常用配方法或公式法．