【題目】如圖,矩形紙片ABCD(AD>AB)中,將它折疊,使點A與C重合,折痕EF交AD于E,交BC于F,交AC于O,連結(jié)AF、CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形;
(2)過E作EP⊥AD交AC于P,求證:AE2=AOAP;
(3)若AE=8,△ABF的面積為9,求AB+BF的值.
【答案】
(1)證明:當頂點A與C重合時,折痕EF垂直平分AC,
∴OA=OC∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO
∴△AOE≌△COF(AAS)
∴OE=OF
∴四邊形AFCE是菱形
(2)證明:∵EP⊥AD
∴∠AEP=90°,
∵∠AOE=90°,
∴∠AEP=∠AOE
∵∠EAO=∠EAP
∴△AOE∽△AEP
∴
∴AE2=AOAP
(3)解:∵四邊形AFCE是菱形
∴AF=AE=8
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2
∴AB2+BF2=82
∴(AB+BF)2﹣2ABBF=64①
∵△ABF的面積為9
∴
∴ABBF=18②
由①、②得:(AB+BF)2=100
∵AB+BF>0
∴AB+BF=10
【解析】(1)當頂點A與C重合時,折痕EF垂直平分AC,由OA=OC,得∠AOE=∠COF=90°,由題意得AD∥BC,∠EAO=∠FCO,可證明△AOE≌△COF,從而得出∴四邊形AFCE是菱形. (2)由EP⊥AD,得∠AEP=90°,可證明△AOE∽△AEP,寫出比例式 ,即可得出AE2=AOAP;(3)根據(jù)四邊形AFCE是菱形,得出AF=AE=8,在Rt△ABF中,利用勾股定理得AB2+BF2=AF2 , AB2+BF2=82 , 即可得出(AB+BF)2﹣2ABBF=64①,根據(jù)△ABF的面積為9,可求得ABBF=18②,再由①、②得:(AB+BF)2=100,得出AB+BF=10.
【考點精析】掌握勾股定理的概念和矩形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;矩形的四個角都是直角,矩形的對角線相等.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,AB=AC,∠BAC=150°,點A到BC的距離為1,與AB重合的一條射線AP,從AB開始,以每秒15°的速度繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn),到達AC后立即以相同的速度返回AB,到達后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程,設(shè)AP與BC邊的交點為M,旋轉(zhuǎn)2019秒時,BM= , CM= .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】王紅有5張寫著以下數(shù)字的卡片,請按要求抽出卡片,完成下列各題:
(1)從中取出2張卡片,使這2張卡片上數(shù)字乘積最小,最小值是 .
(2)從中取出2張卡片,使這2張卡片數(shù)字相除商最大,最大值是 .
(3)從中取出除0以外的4張卡片,將這4個數(shù)字進行加、減、乘、除或乘方等混合運算,使結(jié)果為24,(注:每個數(shù)字只能用一次,如:23×[1﹣(﹣2)]),請另寫出一種符合要求的運算式子 .
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【題目】如圖,M是△ABC的邊BC的中點,AN平分∠BAC,BN⊥AN于點N,延長BN交AC于點D,已知AB=10,BC=15,MN=3
(1)求證:BN=DN;
(2)求△ABC的周長
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【題目】如圖,在中, ,, 是由 繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到的,連接、相交于點.
(1)求證: ;
(2)當四邊形為菱形時,求的長.
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【題目】若a,b,c是直角三角形的三條邊長,斜邊c上的高的長是h,給出下列結(jié)論:
①以a2,b2,c2的長為邊的三條線段能組成一個三角形
②以, , 的長為邊的三條線段能組成一個三角形
③以a+b,c+h,h的長為邊的三條線段能組成直角三角形
④以, , 的長為邊的三條線段能組成直角三角形
其中所有正確結(jié)論的序號為______.
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【題目】已知拋物線y= x2+1(如圖所示).
(1)填空:拋物線的頂點坐標是( , ),對稱軸是;
(2)已知y軸上一點A(0,2),點P在拋物線上,過點P作PB⊥x軸,垂足為B.若△PAB是等邊三角形,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,點M在直線AP上.在平面內(nèi)是否存在點N,使四邊形OAMN為菱形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點N的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O直徑,BC為⊙O切線,連接A、C兩點,交⊙O于點D,BE=CE,連接DE,OE.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)求證:BC2=CD2OE;
(3)若cos∠BAD= ,BE=6,求OE的長.
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【題目】小米是一個愛動腦筋的孩子,他用如下方法作∠AOB的角平分線: 作法:如圖,
⑴在射線OA上任取一點C,過點C作CD∥OB;
⑵以點C為圓心,CO的長為半徑作弧,交CD于點E;
⑶作射線OE.
所以射線OE就是∠AOB的角平分線.請回答:小米的作圖依據(jù)是 .
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