Question

如圖，點(diǎn)AB⊥BD于點(diǎn)B，ED⊥BD于點(diǎn)D，點(diǎn)C在BD上，且∠ACE=90°，AC=CE，AB=4，BC=6．
（1）線段AC=

 

；
（2）證明△ABC≌△?CDE；
（3）如果點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)，問是否存在P使得點(diǎn)A、E、P構(gòu)成一個(gè)直角三角形？若存在請求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理即可解題；
（2）易證∠BAC=∠ECD，即可證明△ABC≌△?CDE，即可解題；
（3）連接AP，EP，易求得CD、DE、AE的長，易證AE²=AB²+BP²+DE²+DP²，設(shè)BP=x，即可求得x的值，即可解題．

解答：解：（1）∵AB⊥BD，
∴∠ABC=90°，
∵AC²=AB²+BC²=52，
∴AC=2

13

，
故答案為2

13

；
（2）∵∠BAC+∠BCA=90°，∠ECD+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
在△ABC和△?CDE中，

∠B=∠D=90° ∠BAC=∠ECD AC=CE

，
∴△ABC≌△?CDE（AAS）；
（3）連接AP，EP，

∵△ABC≌△?CDE，
∴CD=AB=4，DE=BC=6，
∵AC=2

13

，
∴AE=

2

AC=2

26

，
∵AP²=AB²+BP²，EP²=DE²+DP²，AE²=AP²+PE²
∴AE²=AB²+BP²+DE²+DP²，
設(shè)BP=x，
則104=16+x²+36+（10-x）²，
解得：x=4或6，
∵BC=6，
∴BP=4時(shí)，點(diǎn)A、E、P構(gòu)成一個(gè)直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，本題中求證△ABC≌△?CDE是解題的關(guān)鍵．