Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，CE⊥CD于C，且CE=CD，連接BE、DE，DE與BC交于點(diǎn)F．
（1）求證：BE⊥AB；
（2）若∠ACD=30°，求證：DE=2AD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）證明∠ACD=∠BCE，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；證明△ADC≌△BEC，得到∠CBE=∠A=45°，即可解決問題．
（2）證明C、D、B、E四點(diǎn)共圓，得到∠EDB=∠BCE；證明∠ACD=∠BCE=30°，即可解決問題．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CE⊥CD，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE；
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°；
在△ADC與△BEC中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=EC

，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴∠CBE=∠A=45°，
∴∠DBE=90°，即BE⊥AB．
（2）∵∠CDE=∠CBE=45°，
∴C、D、B、E四點(diǎn)共圓，
∴∠EDB=∠BCE；
∵∠ACD=∠BCE=30°，
∴∠EDB=30°，DE=2BE；
∵△ADC≌△BEC，
∴AD=BE，DE=2AD．

點(diǎn)評：該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．