Question

已知二次函數(shù)y=-

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2

（x-

3

）²+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，頂點(diǎn)為P．若∠APB=60°，求點(diǎn)C坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)D，由條件可知△APB為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可用c表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得c，再令x=0，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)對稱軸交x軸于點(diǎn)D，
又∵二次函數(shù)交x軸于A、B兩點(diǎn)，
∴DA=DB，
∴PA=PB，且∠APB=60°，
∴△APB為等邊三角形，
又∵y=-

1

2

（x-

3

）²+c，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，c），
∴OD=

3

，PD=|c|，
∴DB=

3

PD=

3

|c|，
∴OB=

3

+

3

|c|，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

+

3

|c|，0），
又∵B在拋物線上，代入可得3c²-2c=0，解得c=0或

2

3

，
當(dāng)c=0時(shí)，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去，
∴c=

2

3

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

（x-

3

）²+

2

3

，
令x=0，可求得y=-

5

6

，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-

5

6

）．

點(diǎn)評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用c表示出B點(diǎn)的坐標(biāo)求得c的值是解題的關(guān)鍵，注意等邊三角形性質(zhì)的應(yīng)用．