Question

已知二次函數(shù)y=-

1

2

（x-

3

）²+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，頂點為P．若∠APB=60°，求點C坐標．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：設對稱軸交x軸于點D，由條件可知△APB為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可用c表示出B點的坐標，代入拋物線解析式可求得c，再令x=0，可求得C點坐標．

解答：解：設對稱軸交x軸于點D，
又∵二次函數(shù)交x軸于A、B兩點，
∴DA=DB，
∴PA=PB，且∠APB=60°，
∴△APB為等邊三角形，
又∵y=-

1

2

（x-

3

）²+c，
∴P點坐標為（

3

，c），
∴OD=

3

，PD=|c|，
∴DB=

3

PD=

3

|c|，
∴OB=

3

+

3

|c|，
∴B點坐標為（

3

+

3

|c|，0），
又∵B在拋物線上，代入可得3c²-2c=0，解得c=0或

2

3

，
當c=0時，與x軸只有一個交點，舍去，
∴c=

2

3

，
∴拋物線解析式為y=-

1

2

（x-

3

）²+

2

3

，
令x=0，可求得y=-

5

6

，
∴C點坐標為（0，-

5

6

）．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用c表示出B點的坐標求得c的值是解題的關鍵，注意等邊三角形性質(zhì)的應用．