Question

我們把一個半圓與拋物線的一部分合成的封閉圖形稱為“蛋圓”，如果一條直線與“蛋圓”只有一個交點，那么這條直線叫做“蛋圓”的切線．如圖，點A、B、C、D分別是“蛋圓”與坐標軸的交點，AB為半圓的直徑，點M為圓心，A點坐標為（﹣2，0），B點坐標為（4，0），D點的坐標為（0，﹣4）．

（1）你能求出經過點C的“蛋圓”切線的解析式嗎？試試看；

（2）請你求出“蛋圓”拋物線部分的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．

（3）你能求出經過點D的“蛋圓”切線的解析式嗎？能，請寫出過程，不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖，設經過點C“蛋圓”的切線CE交x軸于點E，連結CM，

∴CM⊥CE，

又∵A點坐標為（﹣2，0），B點坐標為（4，0），AB為半圓的直徑，點M為圓心，

∴M點的坐標為（1，0），

∴AO=2，BO=4，OM=1．又因為CO⊥x軸，所以CO2=AO•OB，解得：CO=2，

又∵CM⊥CE，CO⊥x軸，

∴CO²=EO•OM，

解之得：EO=8，

∴E點的坐標是（﹣8，0），

∴切線CE的解析式為：y=x+2；

（2）根據(jù)題意可得：A（﹣2，0），B（4，0）；則設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣4）（a≠0），

又∵點D（0，﹣4）在拋物線上，

∴a=；

∴y=x²﹣x﹣4自變量取值范圍：﹣2≤x≤4；

（3）設過點D（0，﹣4），“蛋圓”切線的解析式為：y=kx﹣4（k≠0），

由題意可知方程組只有一組解．

即kx﹣4=x²﹣x﹣4有兩個相等實根，

∴k=﹣1，

∴過點D“蛋圓”切線的解析式y(tǒng)=﹣x﹣4；