Question

在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC、OA分別在x軸、y軸上，點(diǎn)A（0，m），點(diǎn)C（n，0），且m、n滿足

m+2

+（n-2）²=0．
（1）求點(diǎn)A、C的坐標(biāo)；
（2）如圖1，點(diǎn)D為第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連CD、BD、OD，∠ODB=90°，試探究線段CD、OD、BD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，點(diǎn)F在線段OA上，連BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，當(dāng)F在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與O、A重合），

OM+AN

BN

的值是否變化？若變化，求出變化的范圍；若不變，求出其值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)解方程，可得m、n的值，根據(jù)m、n的值，可得答案；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠DOC與∠∠QBC的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得DC與CQ的關(guān)系，根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠DCQ的度數(shù)，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（3）根據(jù)矩形的判斷與性質(zhì)，可得AN與GM的關(guān)系，根據(jù)同角的余角相等，可得∠OAG與∠BAN的關(guān)系，根據(jù)ASA，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得GO與BN的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：解：（1）m、n滿足

m+2

+（n-2）²=0，
∴m=-2，n=2，
∴A（0，-2）、C（2，0）；
（2）在BD上截取BQ=OD，連接CQ，如圖中的圖1，
∵OC=OA，
∴矩形OABC是正方形，
OC=OB，∠OCB=90°
∵BD⊥OD，
∴∠BOD=90°，
∵∠1與∠2是對(duì)頂角，
∴∠1=∠2，
∠DOC=∠QBC，
在△DOC和△QBC中，

DO=QB ∠DOC=∠QBC OC=BC

，
∴△CDO≌△CQB（SAS），
∴CD=CQ，∠DCO=∠QCB
∴∠DCO+∠OCQ=∠QCB+∠OCQ
∴∠DCQ=∠OCB=90°，
在Rt△DCQ中，由勾股定理得
CD²+CQ²=DQ²
∴2CD²=DQ²
∴

2

CD=DQ
∴

2

CD=BD-BQ
∴

2

CD=BD-OD；
（3）

OM+AN

BN

的值不變，理由如下
過A點(diǎn)作AG⊥OM的延長(zhǎng)線于G，如圖中的圖2
∵OM⊥BF，AN⊥BF，AG⊥OM
∴四邊形MGAN是矩
∴AN=MG，∠OGA=∠GAN．
∴∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3，
在△OGA和△BNA中，

∠OGA=∠BNA ∠1=∠3 OA=AB

，
∴△OGA≌△BNA（AAS）
∴OG=BN
∴OM+MG=BN
∴OM+AN=BN
∴

OM+AN

BN

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，余角的性質(zhì)．