Question

已知，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，D為AB上任意一點，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EF=|AE-BF|．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠BCF，又因為AC=BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，根據(jù)AAS證明△ACE≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與等量關(guān)系即可得出結(jié)論

解答：證明：∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，（直角三角形兩個銳角互余）
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CAE=∠BCF，（等角的余角相等）
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
在△ACE與△CBF中，

∠AEC=∠BFC ∠CAE=∠BCF AC=BC

∴△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，CE=BF，
∴EF=CE-CF=BF-AE，
當(dāng)AE＞BF時，如圖，

同法可求EF=AE-BF，
即EF=|AE-BF|．

點評：本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度適中．