Question

如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁、l₂交于點(diǎn)C和D，在C、D之間有一點(diǎn)P．
（1）問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD之間有什么關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（2）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系是否發(fā)生變化．
（3）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），試探索∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系又是如何？

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD．
（2）當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD，證法與（1）相同；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由直線l₁∥l₂，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答：解：（1）∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l₁上方時(shí)，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l₂下方時(shí)，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同位角相等，注意輔助線的作法．