Question

求所有滿足滿足n³=p²-p-1的正整數(shù)n和質(zhì)數(shù)p．

Answer 1

考點：質(zhì)數(shù)與合數(shù)

專題：

分析：將所給表達式變?yōu)閚³+1=p²-p，即（n+1）（n²-n+1）=p（p-1），再利用整數(shù)的特殊性即可解決．

解答：解：原式變?yōu)?br />n³+1=p²-p，即（n+1）（n²-n+1）=p（p-1），
注意到等式右邊是互質(zhì)的兩個數(shù)p和p-1的乘積，左邊兩個因式最大公約數(shù)可能不為1
考慮它們的最大公約數(shù)，假設(shè)為d
那么d整除n²-n+1和n+1的線性組合（n²-n+1）-（n+1）（n-2）=3
所以d可能為1或3
d=1時，有n+1=p，n²-n+1=p-1
或n+1=p-1，n²-n+1=p
解得n=1，p=2
d=3時，兩邊同時除以9，有[

1

3

（n+1）][

1

3

（n²-n+1）]=

1

9

p（p-1）
由于

1

3

（n+1）和

1

3

（n²-n+1）互質(zhì)，且后者比前者大
則有

1

3

（n+1）=

1

9

（p-1），

1

3

（n²-n+1）=p，
解得n=11，p=37．
故所求共有兩組（n=1，p=2），（n=11，p=37）．

點評：考查了質(zhì)數(shù)與合數(shù)，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．本題還涉及到數(shù)的整除，完全平方公式等知識點，難度比較大．