Question

如圖，E是矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，若AB=3，BC=4，則cos∠EAC的值為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)

專題：

分析：利用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出MN的長(zhǎng)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出即可．

解答：解：過點(diǎn)N作NE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB=3，BC=4，E是矩形ABCD的邊BC的中點(diǎn)，
∴BE=EC=2，AC=5，
∴AE=

32+22

=

13

，
∵NE∥AB，
∴△CEN∽△CBA，
∴

NC

AC

=

NE

AB

=

1

2

，
∴NE=

3

2

，
∵EF⊥AE，
∴∠BEA+∠CEF=90°，
∵∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠CFE=∠AEB，
又∵∠B=∠ECF，
∴△ABE∽△ECF，
∴

AB

EC

=

BE

FC

，
∴

3

2

=

2

FC

，
∴FC=

4

3

，
∵NE∥FC，
∴△MNE∽△MFC，
∴

NE

FC

=

MN

MC

=

3 2

4 3

=

9

8

，
∴設(shè)MN=9x，則MC=8x，
∴9x+8x=

5

2

，
解得：x=

5

34

，
∴MN=

5

34

×9=

45

34

，
∴AM=

5

2

+

45

34

=

65

17

，
∴cos∠EAC=

AE

AM

=

13

65 17

=

17 13

65

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出MN的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．