Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，m），且m≠0，點B的坐標為（n，0），將線段AB繞點B順時針旋轉90°．得到線段BA1，稱點A1為點A關于點B的“伴隨點”，圖1為點A關于點B的“伴隨點”的示意圖

（1）已知點A（0，4），

①當點B的坐標分別為（1，0），（﹣2，0）時，點A關于點B的“伴隨點”的坐標分別為 ， ；

②點（x，y）是點A關于點B的“伴隨點”，直接寫出y與x之間的關系式；

（2）如圖2，點C的坐標為（﹣3，0），以C為圓心，為半徑作圓，若在⊙C上存在點A關于點B的“伴隨點”，直接寫出點A的縱坐標m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①（5，1），（2，﹣2）；②P1（x，y）是點A關于點B的“伴隨點”，y與x之間的關系式為y＝x﹣4；（2）m≤﹣1或m≥1．

【解析】

（1）①構造全等三角形求出點A1坐標即可；②取N（4，0），則OA＝ON，作A1M⊥x軸于M，在△ABO≌△BA1M的條件下可得出△A1MN是等腰直角三角形，所以點A1在經過點N，與x軸的夾角為45°的直線上時，P1（x，y）是點A關于點B的“伴隨點”，易得關系式為y＝x﹣4；

（2）結合②中關系式，可得當直線y＝x﹣m與⊙C有交點時，在⊙C上存在點A關于點B的“伴隨點”，可求出 m的范圍.

解：（1）①如圖1中，作A1M⊥x軸于M．

∵AB＝BA1，∠AOB＝∠A1MB＝90°，易證∠ABO＝∠A1，

∴△ABO≌△BA1M（AAS）

∴OA＝BM，OB＝A1M，

當A（0，4），B（1，0）時，BM＝4，A1M＝1，OM＝5，

∴A1（5，1），

當A（0，4），B（﹣2，0）時，同法可得A1（2，﹣2）．

故答案為（5，1），（2，﹣2）．

②如圖2中，取N（4，0），則OA＝ON，作A1M⊥x軸于M．

∵△ABO≌△BA1M，

∴OA＝BM＝ON，OB＝A1M，

∴OB＝MN＝A1M，

∴△A1MN是等腰直角三角形，

∴∠A1NM＝45°，

∴點A1在經過點N，與x軸的夾角為45°的直線上，

易知這條直線的解析式為y＝x﹣4，

∴P1（x，y）是點A關于點B的“伴隨點”，y與x之間的關系式為y＝x﹣4；

（2）如圖3中，

由（1）可知，A（0，m）關于B的“伴隨點”A1（x，y），

y與x之間的關系式：y＝x﹣m，

由題意可知，當直線y＝x﹣m與⊙C有交點時，在⊙C上存在點A關于點B的“伴隨點”，易知相切時m＝±1，

觀察圖象可知，滿足條件的m的范圍為：m≤﹣1或m≥1．