Question

如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，以AD為一邊向右作等邊三角形ADE，DE與AC交于點(diǎn)F．
（1）試判斷DF與EF的數(shù)量關(guān)系，并給出理由．
（2）若CF的長(zhǎng)為2cm，試求等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都是60°可得∠BAC=∠DAE=60°，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出BD=DC，∠BAD=∠DAC=30°，然后得到∠DAC=∠CAE，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得證；
（2）求出∠CDF=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答即可．

解答：解：（1）DF=EF．
理由：∵△ABC和△ADE均是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=DC，∠BAD=∠DAC=

1

2

×60°=30°，
∴∠CAE=60°-30°=30°，
即∠DAC=∠CAE，
∴AC垂直平分DE，
∴DF=EF；

（2）在Rt△DFC中，∵∠FCD=60°，∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°-60°=30°，
∵CF=2cm，
∴DC=4cm，
∴BC=2DC=2×4=8cm，
即等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．