Question

【題目】如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C點的坐標；

（2）如圖1，在平面內(nèi)是否存在一點H，使得以A、C、B、H為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出H點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖1點M（1，﹣1）是第四象限內(nèi)的一點，在y軸上是否存在一點F，使得|FM﹣FC|的值最大？若存在，請求出F點坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）（﹣6，﹣2）;（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）證明△MAC≌△OBA（AAS），根據(jù)三角形全等時對應邊相等可得C的坐標；

（2）根據(jù)平移規(guī)律可得三個H點的坐標；

（3）如圖3，作點M（1，-1）關(guān)于y軸的對點M'（-1，-1），連接CF1、MF1，由于|FM-FC|≤CM，當C、M'、F三點共線時取等號，連接CM'，與y軸交于點F即為所求，根據(jù)直線解析式，令x=0可得與y軸的交點F的坐標．

解：（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點，

∵∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，

則∠MAC＝∠OBA，

在△MAC和△OBA中，

，

∴△MAC≌△OBA（AAS），

∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，

∴OM＝OA+AM＝2+4＝6，

∴點C的坐標為（﹣6，﹣2）

（2）答：如圖2，存在三個H點，

∵A（﹣2，0），B（0，﹣4），C（﹣6，﹣2），

∴根據(jù)B到A的平移規(guī)律可得C到H1的平移規(guī)律，則H1（﹣8，2），

同理得H2（﹣4，﹣6）、H3（4，﹣2）

（3）答：存在，F（0，﹣），

如圖3，作點M（1，﹣1）關(guān)于y軸的對點M'（﹣1，﹣1），

設y軸上存在一點F1，連接CF1、M'F1，由于|FM﹣FC|≤CM'，

當C、M'、F三點共線時取等號，

連接CM'，與y軸交于點F即為所求，

設CM'的解析式為：y＝kx+b，

把C（﹣6，﹣2）、M'（﹣1，﹣1）代入得，，

解得：，

∴，

當x＝0時，y＝﹣，

∴F（0，﹣）．