Question

如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，連接BM，BM的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于F，連接MF交CD于N．
（1）求CF的長(zhǎng)； 
（2）求證：BM=EF．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：計(jì)算題,幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）如圖，過(guò)M作MH⊥BC于H，設(shè)CF=x．則HF=

1

2

+x，BF=MF=1+x．在直角△MHF中，由勾股定理來(lái)求x的值；
（2）根據(jù)AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，證△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根據(jù)BM=2BE推出即可．

解答：解：（1）解：如圖，過(guò)M作MH⊥BC于H，
設(shè)CF=x．則HF=

1

2

+x，BF=MF=1+x．
在直角△MHF中，由勾股定理得
1²+（

1

2

+x）²+（1+x）²，
解得，x=

1

4

；

（2）證明：證明：∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，正方形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生是否熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．