如圖(1),E是正方形ABCD的邊BC上的一個點(E與B、C兩點不重合),過點E作射線EP⊥AE,在射線EP上截取線段EF,使得EF=AE;過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G.
(1)求證:FG=BE;
(2)連接CF,如圖(2),求證:CF平分∠DCG;
(3)當
BE
BC
=
3
4
時,求sin∠CFE的值.
考點:四邊形綜合題
專題:代數(shù)幾何綜合題
分析:(1)根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等,再由一對直角相等,且AE=EF,利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等,利用全等三角形的對應邊相等即可得證;
(2)由(1)得到BC=AB=EG,利用等式的性質(zhì)得到BE=CG,根據(jù)FG=BE,等量代價得到FG=CG,即三角形FCG為等腰直角三角形,得到∠FCG=45°,即可得證;
(3)如圖,作CH⊥EF于H,則△EHC∽△EGF,利用相似得比例,根據(jù)BE與BC的比值,設出BE,EC,以及EG,F(xiàn)G,利用勾股定理表示出EF,CF,進而表示出HC,在直角三角形HC中,利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sin∠CFE的值.
解答:(1)證明:∵EP⊥AE,
∴∠AEB+∠GEF=90°,
又∵∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠GEF=∠BAE,
又∵FG⊥BC,
∴∠ABE=∠EGF=90°,
在△ABE與△EGF中,
∠ABE=∠EGF
∠BAE=∠GEF
AE=EF
,
∴△ABE≌△EGF(AAS),
∴FG=BE;

(2)證明:由(1)知:BC=AB=EG,
∴BC-EC=EG-EC,
∴BE=CG,
又∵FG=BE,
∴FG=CG,
又∵∠CGF=90°,
∴∠FCG=45°=
1
2
∠DCG,
∴CF平分∠DCG;

(3)解:如圖,作CH⊥EF于H,
∵∠HEC=∠GEF,∠CHE=∠FGE=90°,
∴△EHC∽△EGF,
HC
GF
=
EC
EF

根據(jù)
BE
BC
=
3
4
,設BE=3a,則EC=a,EG=4a,F(xiàn)G=CG=3a,
∴EF=5a,CF=3
2
a,
HC
3a
=
a
5a
,HC=
3
5
a,
∴sin∠CFE=
HC
CF
=
2
10
點評:此題屬于四邊形綜合題,涉及的知識有:全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),以及銳角三角函數(shù)定義,熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
練習冊系列答案
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的算術(shù)平方根是
 

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B、2和2.5之間
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(1)求點F的坐標和∠FDM的大;
(2)求直線DE的解析式;
(3)點P在直線DE上,且△PEF為等腰三角形,請直接寫出點P的坐標.

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在一個口袋中有3個完全相同的小球,把它們分別標號為1、2、3,隨機地摸取一個小球然后放回,再隨機地摸出一個小球.
(1)求兩次取的小球的標號相同的概率;
(2)求兩次取的小球的標號的和不等于4的概率.

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某班10位同學的數(shù)學測試成績?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?br />82  87  89  83  88  89  76  73  85  93
(1)若以82分為標準,超過的分數(shù)記為正數(shù),不足的分數(shù)記為負數(shù),填寫下表:
學生編號12345678910
與標準分的差值/分
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2)根據(jù)上面的表格求出這十位同學的平均分.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

計算:
(
2013
-
2014
)+(
2014
-
2013
)
;      
|1-
2
|+
(
2
-
3
)
2
-|1-
3
|

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長均為1個單位長度.△ABC三個頂點的位置如圖所示,將點A平移到A1,點B平移到B1,點C平移到C1
(1)請畫出平移后的△A1B1C1,并寫出點B經(jīng)過怎樣的平移得到B1?
(2)△A1B1C1的面積是
 

(3)連接BB1,CC1.則這兩條線段的數(shù)量關(guān)系是
 

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經(jīng)過某十字路口的汽車,它可能繼續(xù)直行,也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn),這三種可能性大小相同,現(xiàn)在兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口.
(1)請用“樹形圖”或“列表法”列舉出這兩輛汽車行駛方向所有可能的結(jié)果;
(2)求這兩輛汽車都向左轉(zhuǎn)的概率.

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