【題目】ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點,AFDE相交于點GCEBF相交于點H

(1)求證:四邊形EHFG是平行四邊形;

(2)ABCD應(yīng)滿足什么條件時,四邊形EHFG是矩形?并說明理由;

(3)ABCD應(yīng)滿足什么條件時,四邊形EHFG是正方形?(不要說明理由).

【答案】(1)(2)見解析;(3)AB=2AD且∠BAD=90°.

【解析】(1)通過證明兩組對邊分別平行,可得四邊形EHFG是平行四邊形;

(2)當AB=2AD時,先證明四邊形ADFE是菱形,得出AFDE,EGF=90°,從而證明平行四邊形EHFG為一個矩形;

(3)由(2)可知只要GE=GF時矩形EHFG是正方形,則可知需要AF=DE,即需要證明菱形ADEF是正方形,由此可知需要∠EAD=90°,據(jù)此即可確定□ABCD應(yīng)滿足的條件.

(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,

AECF,AB=CD,

EAB中點,FCD中點,

AE=CF,

∴四邊形AECF是平行四邊形,

AFCE.

同理可得DEBF,

∴四邊形FGEH是平行四邊形;

(2)AB=2AD,理由如下:連接EF,

E,F(xiàn)分別為AB,CD的中點,且AB=CD,

AE=DF,且AEDF,

∴四邊形AEFD為平行四邊形,

AD=EF,

又∵AB=2AD,EAB中點,則AB=2AE,

AE=AD,

∴四邊形AEFD為菱形,

AFDE,EGF=90°,

∴平行四邊形EHFG是矩形;

(3)AB=2AD且∠BAD=90°,理由如下:

由(2)可知當AB=2AD時,四邊形EHFG是矩形,四邊形AEFD是菱形,

∵∠BAD=90°,∴菱形AEFD是正方形,

AF=DE,ED=2EG,AF=2GF,

GE=GF,

∴矩形EHFG是正方形.

練習(xí)冊系列答案
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