Question

已知拋物線y=ax²+（

4

3

+3a）x+4的開口向下，與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）用a表示出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）用a表示出線段AB、BC、AC的長(zhǎng)；
（3）如果△ABC是等腰三角形，求a的值；
（4）該拋物線是否關(guān)于y軸對(duì)稱？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）分別令y=0、x=0可求出A、B和C的坐標(biāo)；
（2）可利用A、B坐標(biāo)可求得AB，在Rt△AOC和Rt△BOC中利用勾股定理可分別表示出BC、AC的長(zhǎng)度；
（3）分AB=AC、AB=BC和AC=BC三種情況得到a的方程，可求得a的值；
（4）可求得其對(duì)稱軸，令其為0可求得a，即可以關(guān)于y軸對(duì)稱．

解答：解：（1）在拋物線y=ax²+（

4

3

+3a）x+4中，
令y=0可得ax²+（

4

3

+3a）x+4=0，解得x=-3或x=-

4

3a

，
令x=0可得y=4，
∴A（-3，0），B（-

4

3a

，0），C（0，4）；
（2）∵二次函數(shù)圖象開口向下，
∴a＜0，
∴由（1）可得AB=-

4

3a

+3，AC=

AO2+CO2

=

32+42

=5，BC=

BO2+CO2

=

(- 4 3a )2+42

；
（3）當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)有三種情況：
①當(dāng)AB=AC時(shí)，即-

4

3a

+3=5，解得a=

1

6

；
②當(dāng)AB=BC時(shí)，即-

4

3a

+3=

(- 4 3a )2+42

，解得a=-

8

7

；
③AC=BC時(shí)，即

(- 4 3a )2+42

=5，解得a=

4

9

（舍去）或a=-

4

9

；
綜上可知當(dāng)a為-

2

3

或-

8

7

或-

4

9

時(shí)，△ABC為等腰三角形；
（4）其對(duì)稱軸方程為x=-

4 3 +3a

2a

，令其為0，即

4 3 +3a

2a

=0，解得a=-

4

9

，
∴只有當(dāng)a=-

4

9

時(shí)，該拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)的應(yīng)用．用a表示出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意分三種情況討論，注意勾股定理的應(yīng)用．