Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)線段BE為何值時(shí)，線段AM最短，最短是多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）能；BE=1或．（3）BE=3時(shí)，AM最短為.

【解析】

（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得△ABE∽△ECM；

（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；

（3）首先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，繼而求得AM的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段AM的最小值．

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵△ABC≌△DEF，∴∠AEF=∠B．

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠CEM=∠BAE，∴△ABE∽△ECM；

（2）能．

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM；

①當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，∴CE=AB=5，∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1；

②當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA．

∵∠MEA=∠B，∴∠MAE=∠B．

∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴，∴CE=，∴BE=6﹣=．

綜上所述：BE=1或．

（3）設(shè)BE=x．

又∵△ABE∽△ECM，∴，即：，∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）2+，∴AM=5﹣CM=（x﹣3）2+，∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為．