Question

若對任何實數(shù)a，關于x的方程x²-2ax-a+2b=0都有實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：函數(shù)思想

分析：先計算關于x的方程x²-2ax-a+2b=0的△，把計算出的結果看作二次函數(shù)，開口向上，并且恒有△≥0，即函數(shù)圖象不在x軸下方，因此得到△′≤0，解關于b的不等式即可．

解答：解：∵關于x的方程x²-2ax-a+2b=0都有實數(shù)根，
∴△=4a²-4（-a+2b）=4a²+4a-8b，
對任何實數(shù)a，有△=4a²+4a-8b≥0，
所以△′≤0，即4²-4×4×（-8b）≤0，
解得b≤-

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．
所以實數(shù)b的取值范圍為b≤-

1

8

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系．