Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在軸上．

（1）若點(diǎn)是拋物線最低點(diǎn)，且落在軸正半軸上，直接寫(xiě)出的取值范圍；

（2），是拋物線上兩點(diǎn)，若，則；若，則，且當(dāng)的絕對(duì)值為4時(shí)，為等腰直角三角形（其中）．

①求拋物線的解析式；

②設(shè)中點(diǎn)為，若，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)時(shí)，最小值是2．

【解析】

（1）由頂點(diǎn)是拋物線最低點(diǎn)，可判斷拋物線開(kāi)口向上，可判定a的符號(hào)；根據(jù)拋物線的解析式確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)頂點(diǎn)A落在軸正半軸上，可判定h、k的取值范圍；
（2）①由已知可得當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，所以對(duì)稱軸為軸，即可確定拋物線為y=ax2，再由△APQ為等腰直角三角形和y1的絕對(duì)值為4，得到a=；
②設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），PQ2=8y+4y2-（x1x2+4）2+4≥36，所以4（y+1）2≥36+（x1x2+4）2，當(dāng)x1x2=-4時(shí)，y有最小值，y+1≥3，y≥2， 即N點(diǎn)縱坐標(biāo)最小值為2．

（1）∵拋物線有最低點(diǎn)，
∴a＞0，
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）在x軸正半軸上，
∴h＞0，k=0；

（2）①∵當(dāng)時(shí)，；則，

∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，

當(dāng)時(shí)，；則

∴當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴拋物線的對(duì)稱軸是軸，且開(kāi)口向上

又頂點(diǎn)在軸上，所以頂點(diǎn)是原點(diǎn)

∴拋物線的解析式為，且

當(dāng)是等腰直角三角形，時(shí)，，

又為頂點(diǎn)，所以點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸軸對(duì)稱．

，

∴

設(shè)交軸于點(diǎn)，則，

∴點(diǎn)中一個(gè)坐標(biāo)為，另一個(gè)為

把代入，解得

∴拋物線的解析式為

②PQ2=（x1-x2）2+（y1-y2）2≥36，
∵y1=x12，y2=x22，
∴PQ2=（x1-x2）2+（y1-y2）2

=（x1-x2）2+（x12-x22）2

=（x1-x2）2+（x12+x22）2-x12x22

=x12+x22-2x1x2+（x12+x22）2-x12x22

=4（y1+y2）+（y1+y2）2-（x12x22+8x1x2）

=4（y1+y2）+（y1+y2）2-（x12x22+8x1x2+16-16）

=4（y1+y2）+（y1+y2）2-（x1x2+4）2+4
∵設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），N是PQ的中點(diǎn)，

∴ ＞0
∴2x=x1+x2，2y=y1+y2，
∴PQ2=8y+4y2-（x1x2+4）2+4≥36，
∴4（y+1）2≥36+（x1x2+4）2，

∵y+1＞0
當(dāng)x1x2=-4時(shí)，y有最小值，
∴y+1≥3，
∴y≥2，
∴點(diǎn)N縱坐標(biāo)的最小值為2